ОТКРЫТЫЙ ТЕКСТ Электронное периодическое издание ОТКРЫТЫЙ ТЕКСТ Электронное периодическое издание ОТКРЫТЫЙ ТЕКСТ Электронное периодическое издание Сайт "Открытый текст" создан при финансовой поддержке Федерального агентства по печати и массовым коммуникациям РФ
Обновление материалов сайта

15 января 2017 г. размещены материалы: роман У. Голдинга "Повелитель мух", продолжение публикации материалов к курсу лекций Н.И. Решетникова "Музей и методика изучения историко-культурного и природного наследия".


   Главная страница  /  Человек и текст

 Человек и текст
Размер шрифта: распечатать





Сергей Брйтфус. Истоки и причины кризиса оснований математики. (37.43 Kb)

 

Публикация "Кризис оснований и эволюция научного мировоззрения" вызвала некоторый, пусть и небольшой, резонанс среди подписчиков конференции. И породила множество откликов, причем самого невероятного толка. Чтобы расставить все точки над i и определиться тем самым, что же понимают под основами математики (die Grunglage Mathematik, коротко - (GM) и кризисом этих оснований, приводится нижеследующий фрагмент авторской работы.
Кроме того, замечу, что в публикуемой работе речь идет о причинах кризиса GM и о основных этапах его развития. Ошибочно было бы считать, что кризис GM существовал "всегда", т.е. с самого зарождения математики как науки. Это утверждение в корне неверно. Его можно разве что сравнить по своей абсурдности с заявлением, что теперешний кризис в России был заложен в ментальности русского народа. Особливо, если вспомнить заветное: "...а земля наша обширна и богата, да порядка в ней нету, так что, приходите и правьте нами...". Так что же, мы должны сразу сделать выводы о фатальной дикости и нецивилизованности россиян?
Но с другой стороны. Кризисы, как и революции, категории суть такие, что нет у них начала, как нет и конца. В поиске подлинных причин кризиса зачастую невозможно дойти до истока, а благополучно завершившейся кризис, как правило, не снимает все без исключения противоречия. Велико здесь искушение поддаться Гегелю и его концепции снятия противоречий - как результата разрешения очередного кризиса и трактовке этого процесса как эволюции и развития. Но опять но, если уж мы пользуемся законами гегелевской диалектики, то, первое,- необходимо показать, в чем суть кризисных противоречий и, второе,- можно ли вообще говорить о снятии как о положительном решении? Для истории и для математики такого рода "эволюции" - вещи разного порядка...
(С) Сергей Брейтфус, 1997.
 
 
(Фрагмент рукописи).
....Как правило, исследователи, методологи и историки математики склонны видеть закономерность истоков так называемого 3-го кризиса оснований математики в эволюционном процессе развития представлений об основах математики, который был продиктован необходимостью уточнения таких математических понятий, как: число, множество, предел, функция и т.д. А так же в процессе сближении математики с логикой и в поиске непротиворечивых оснований с помощью последней. При этом они опираются на обильный историко-математический материал, охватывающий развитие математики с конца XVII по первую половину XX века. Поэтому, не лишено смысла остановиться на историко-научных аргументах более подробно.

Математика XVII-XVIII веков, в основном, разрабатывала методы решения различных задач естествознания. Главным из великих творений в области прикладной математики было изобретение анализа - дифференциального и интегрального исчислений (Ньютон, Лейбниц), открывших совершенно новые возможности для решения проблем механики и астрономии, а позднее и целого ряда других областей. К 80-м годам XVIII века анализ, который теперь называют классическим, уже стал зрелой наукой. Однако "Увлеченные необыкновенной силой новых приемов, легкостью, закономерностью, простотой, с которой достигалось решение все новых и новых задач, математики XVIII в. не заботились о том, насколько логически обоснованны те приемы, которые они применяли"[1]. Перестройка математического знания из практически-прикладного в теоретическое стала делом следующего века. Развитие математики на протяжении XIX столетия характеризуется стремлением к систематизации, к установлению единства в многообразии математических фактов и методов, на первый взгляд весьма далеких друг от друга, а также критическим уяснением и стройным обоснованием фундаментальных понятий. Эти тенденции достигают наиболее полного выражения в арифметизации математики и формировании теории множеств.

Под арифметизацией математики понимают "стремление свести все основные факты той или иной математической науки к числу, в конечном счете, натуральному"[2]. Начиная с "Арифметических исследований" (1801) Гаусса, крупнейшие математики XIX столетия активно разрабатывают теорию числа и предпринимают настойчивые усилия положить ее в основу всей математики, и, прежде всего, анализа. Аппарат дифференциального и интегрального исчислений был удобным инструментом для расчета механических движений и решения многих других задач, но не отличался достаточной строгостью ни в определении терминов, ни в доказательстве теорем. Наиболее уязвимой частью анализа были его расплывчатые и разноречивые логические основания. Методы более точных определений и строгих доказательств разрабатываются в XIX веке, когда широким фронтом развертываются и все более углубляются исследования
оснований математики[3].

На протяжении XIX в. анализ заметно меняет свой вид. Большие заслуги в логической перестройке этой области математики, внесении ясности и порядка в ее понятия, принадлежат Коши. Взяв за исходное понятие переменной величины, Коши определил другие основные понятия анализа через соотношение между постоянными и переменными величинами. Посредством понятия о "предельном переходе" в свою очередь определяется понятие бесконечно малой величины, и далее вводятся другие понятия анализа. Перестройка анализа
диктовалась потребностью более строгого обоснования, более четкой формулировки его основных понятий, стремлением освободить его от геометрических и механических представлений, построить анализ независимо от других математических дисциплин. Все большую силу обретает убеждение, что "всякая, хотя бы и очень отдаленная теорема алгебры или высшего анализа может быть сформулирована как теорема о натуральных числах"[4]. И математика XIX в. проделала этот сложный путь сведения всего содержания анализа к
учению о натуральном числе. Кульминационным пунктом этого течения математической мысли было построение теории действительных чисел (Больцано, Вейерштрасс, Дедекинд, Кантор). Понятие числа постепенно осознается как фундаментальное понятие всей математики, и в частности - геометрии.

Ввиду методологической установки на арифметизацию математики особое значение приобрела задача обоснования арифметики. Важнейшую роль в ее решении сыграло становление теоретико-множественных представлений. Построение теории множеств, основным творцом которой стал Г.Кантор, явилось важнейшим итогом развития математики XIX столетия. К ее созданию вели различные течения математической мысли, но наиболее важным источником теоретико-множественных идей и методов были исследования по основаниям
математики, главным образом исследования по обоснованию классического анализа и теории функций (теория тригонометрических рядов). Во второй половине XIX в. понятия анализа и теории функций постепенно переводятся на язык теории множеств.

Основным понятием для последней является понятие актуально бесконечного множества. Под теоретико-множественным методом в математике понимается сведение той или иной математической проблемы к указанию соответствующего бесконечного множества или нескольких таких множеств, к изучению свойств этих множеств и последующему решению рассматриваемой проблемы уже на основе изученных свойств указанных множеств[5]. Важную роль в теоретико-множественном обосновании сыграл Р.Дедекинд. Его работа "Что
такое числа и для чего они служат" посвящена обоснованию понятия натурального числа средствами теории множеств.

Создание теории множеств означало революцию в истории математики. А.Френкель расценивает завоевание актуальной бесконечности методами теории множеств как расширение нашего научного горизонта, не меньшее по значению, чем Коперникова система в астрономии и теория относительности или квантовая теория в физике. Теория множеств дала универсальный метод, ставший основой для последующего развития математики в целом.

Возрастание абстрактности мышления и повышенные требования к строгости постепенно сближали математику с такой дисциплиной, как логика. Известно, что в математике раньше, чем в других науках, был разработан и успешно применен искусственный символьный язык, позволяющий выражать математическое рассуждение в виде формального преобразования некоторых исходных формул по определенным правилам. В первой половине XIX в. было осознано, прежде всего, в алгебре, что один и тот же формальный язык можно относить к разным математическим объектам. Это наводило на мысль о еще более широкой применимости буквенного языка к объектам любой природы. "С развитием алгебры,- отмечает Бурбаки,- не могла не поразить аналогия между правилами формальной логики и правилами алгебры, применяемыми в том и другом случаях к неконкретизируемым далее объектам (предложениям или числам)"[6]. И с середины XIX в., когда эта аналогия была осознана, начала создаваться математическая, или символическая, логика, разработка которой связана с
именами Буля, Моргана, Джевонса, Пирса, Пеано, Шрейдера, Порецкого, Фреге и ряда других математиков.

Известно, что традиционной логической теории не хватало формальной строгости. К тому же ее формулы выражали лишь субъектно-предикатные суждения, оставляя без анализа отношения. Развивающаяся наука нового времени не скрывает неудовлетворенность аристотелевской логикой. Другие же логические доктрины были мало известны. И только с середины XIX в., с внедрением математических методов, наступает ренессанс формальной логики. Математическая логика, общие идеи которой были высказаны еще Лейбницем, отличалась от традиционной аристотелевской логики, доминировавшей в западном мышлении около 2000 лет, более последовательным применением искусственной символики и повсеместным применением метода формализации.

Первый этап становления символической логики называют периодом алгебры логики. Введя в логику вместо обычного языка систему символов, ирландский математик Дж. Буль и его последователи Э.Шрейдер и П.Порецкий заменили суждения уравнениями, а процесс дедуктивного умозаключения - решением логических равенств. Введя символику, в которой все переменные обозначали
классы, Буль построил строго доказуемую систему формул, применимую к классам и их отношениям. Впоследствии через обобщения этой системы была создана общая логическая теория отношений (Морган, Пирс и др.). Логические связи между суждениями и понятиями были выражены в математических формулах, а получение логических следствий предстало как формальное преобразование исходных формул по фиксированным правилам. Такое применение математического формализма позволило существенно раздвинуть рамки традиционной формальной логики.

Исследования по математической логике на первых порах производились вне связи с основными направлениями чисто математических исследований. Многие математики о них, как правило, не знали или же не осознавали их значения. Между тем потребность в применении логики и расширении ее средств была столь настоятельной, что математики были вынуждены прийти к логике еще с одной стороны - по линии теории множеств.

Сближение математической теории множеств с логикой способствовала невиданная еще в истории математики степень абстрактности новой дисциплины. Уже у Кантора многие понятия относились к всевозможным объектам мышления (понятия множества, подмножества, взаимооднозначного соответствия, мощности и т.д.) и вследствие этого ставились в один ряд с общелогическими понятиями. У Дедекинда операция над множествами и законы этих операций превратились в формально-логические операции и их законы. Этот процесс сближения теории множеств с логикой углублялся и далее.

Сведение математики к арифметике, обоснование последней с помощью абстрактной теории множеств, понятия которой равнозначны по своей общности с понятиями логики, означало выход к логическому обоснованию математики. Этому немало способствовали успехи самой логики. Выдающееся место в ее развитии принадлежит "Основаниям арифметики" и "Основным законам
арифметики, полученным при помощи исчисления понятий" Г.Фреге, а также ряду работ Пеано, Пирса и других логиков. Новая логика привлекает все больше внимание математиков, столкнувшихся в ходе исследований по основаниям математики с рядом собственно логических проблем. Это - задача логического обоснования числа как фундаментального понятия всей математики, вопросы
непротиворечивости, независимости и полноты систем аксиом и др.

Одной из главных идей нового периода в развитии математической логики, получившего название "логистики", была мысль об изложении оснований математики на языке логики, что диктовалось возрастающей необходимостью более строгого обоснования результатов математических исследований. Перед лицом этой задачи существенной перестройке подвергается сама логика.
Принципы и теоремы логики удается вывести из минимального набора аксиом и основных принципов. Так Фреге осуществил дедуктивное аксиоматическое
построение самой математической логики, придав ей вполне современный вид (исчисление высказываний, исчисление предикатов). Иными словами, происходит дальнейшая формализация самой логики. Она принимает вид системы символов, допускающих определенные преобразования на основе четко сформулированных правил. Осуществляется синтаксический подход к логике. Она рассматривается как язык. Формируется мощный аппарат формализованного логического анализа.

Если в предыдущий период символическая логика мыслилась как отрасль математики, то теперь, наоборот, доминирует идея выводимости математики из логики. Крупнейший немецкий математик и логик Фреге применяет математическую логику в качестве метода обоснования арифметики. Так, средствами расширенного исчисления предикатов он формализовал теорию множеств. Определив математические понятия "числа" и "количества" в терминах логических понятий "класса" и "отношения" (правда, в определении
этих терминов неявно присутствует тоже самое число), Фреге представил математику как продолжение логики. Дальнейшим развитием и наивысшей точкой этих усилий явилось трехтомное исследование Principia Mathematica (1910-1913) Рассела и Уайтхеда. С этого времени символическая логика становиться незаменимым средством исследования оснований математики.

К концу XIX в. были достигнуты уже настолько большие успехи в систематизации и строгом обосновании математики, что казалось: эта трудная работа близка к завершению. После работ Г.Кантора математиками, по словам Германа Вейля, владело убеждение, что "грандиозное здание анализа приобретает несокрушимую крепость, оказываясь прочно заложенным и строго обоснованным во всех своих частях"[7]. Эта картина напоминает ситуацию в физике, где к началу 90-х годов установилось мнение, будто стройное здание классической физики почти полностью завершено и остается подработать лишь кое-какие детали. И вопреки ожиданиям вскоре разразился "кризис в физике", поставивший под сомнение ее обоснование на базе механики Ньютона. Не менее драматичными были события и в математике.

Не успела теория множеств сформироваться в качестве самостоятельной науки, как возникло неожиданное препятствие. Уже при жизни Кантора, в период, когда ожидался небывалый триумф теории множеств, в ней обнаружили парадоксы или антиномии. Первый парадокс в 1895 г. установил сам Кантор и сообщил о нем в письме к Гильберту. Этот исторически первый парадокс теории множеств носит довольно специфический характер и относится к проблеме трансфинитных чисел[8]. В 1899 г. Кантор открывает еще один парадокс и сообщает о нем в письме Дедекинду.

За открытием этих двух парадоксов абстрактной теории множеств последовала целая серия других[9]. Одной из задач своей научной деятельности Кантор считал устранение парадоксов, но это ему не удалось: число парадоксов с течением времени не только не уменьшалось, но, напротив, продолжало возрастать. Подавленный неудачей, Кантор в течение последних двух
десятилетий жизни ничего не публиковал. Весьма шокирован был открытием парадоксов и Дедекинд. Ситуация, в самом деле, была обескураживающей. Один из крупнейших математиков XX столетия Давид Гильберт высказался по этому поводу: "...Состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике - этом образце достоверности и истинности - образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводит к
нелепости. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?"[10].

Парадоксы фиксировали внутренние логические трудности теории множеств, лежащие в самих ее основах - фундаментальных понятиях и способах рассуждения. Возникшую ситуацию называют кризисом оснований математики. Парадоксы выявились именно в абстрактной теории множеств, которая по сути дела срастается с формальной логикой. В связи с этим не удивительно, что вскоре после парадоксов теории множеств был обнаружен целый ряд их логических "двойников". Под ударами обнаруженных парадоксов оказалась логико-математическая система Фреге. В 1902 г. в первом томе "Основных законов арифметики", было найдено противоречие, получившее название парадокса Рассела-Цермело. Дело в том, что определение множества, предложенное Кантором, позволяло рассматривать в качестве элементов множество объектов любой природы. Таковыми - помимо индивидуальных предметов - могли выступать и всевозможные множества, в том числе допускалось, что множество может включать в качестве своего элемента и самое себя. В связи с этим, возможно, подразделить множества на такие, которые не содержат себя в качестве элемента (стандартные множества), и
такие, которые включают в число своих элементов и себя (нестандартные множества). Трудность возникает, если поставить вопрос, к какому из двух типов относится множество всех стандартных множеств, поскольку возможны два взаимоисключающих ответа. Рассел установил, что такое множество будет одновременно и стандартным, поскольку по своему определению не может содержать себя в качестве своего элемента, и нестандартным, поскольку оно есть множество всех стандартных множеств и потому должно включать себя в качестве стандартного множества.

Кризис оснований математики поставил на повестку дня ряд важных философских, методологических и логических проблем математики. Наиболее острым из них был вопрос о причинах и способах устранения парадоксов. Вначале полагали, что парадоксы не составляют сколько-нибудь серьезной опасности и их вскоре удастся преодолеть. Ведь постоянное возникновение и разрешение противоречий-антиномий - общеизвестный факт истории науки. Но в данном случае дело оказалось серьезнее: вместо устранения трудностей, как
бы в насмешку над математиками, обнаруживались все новые и новые парадоксы. Помимо парадоксов логики и математики (логические) бы открыт также ряд семантических парадоксов[11]. Антиномии этой группы содержат понятия именования, определения, истины и другие, принадлежащие гносеологии, семантике и т.д.

Безуспешные попытки разрешить парадоксы постепенно укрепили убеждение одной из групп математиков, что дело упирается в переосмысление ряда принципиальных идей математики и отказ от некоторых старых концепций. Прежде всего, парадоксы поставили их "перед проблемой перестройки теории множеств на совершенно измененной основе"[12], в частности потребовали уточнения понятия множества. Более того, возникла необходимость самого тщательного анализа логики рассуждения, логических механизмов языка, ибо сам собой напрашивался вывод: "...логика в том интуитивном виде, какой она имела в конце прошлого столетия, не годится в качестве четкого критерия строгости математического доказательства"[13].

Обнаружение на рубеже XIX-XX вв. парадоксов теории множеств неожиданно выявило шаткость логического фундамента всей добротно выстроенной к тому времени классической математики. Это послужило новым стимулом для тщательной логической экспликации ее основ. Если в XIX в. исследования оснований математики стимулировались потребностями ее теоретической проработки, систематизации, - то в XX веке ситуация драматизируемая обстоятельствами кризиса оснований математики, - и тут уже становится
главным разрешение возникших трудностей, восстановление былой надежности и достоверности математического знания. Возникают различные направления обоснования математики. Таким образом, определились три ведущие программы: логицизм, связанный с именами Фреге, Рассела; формализм, персонифицированный Гильбертом, и интуиционизм, теоретиком которого выступил Брауэр. Позже набирает вес конструктивное направление.

Исходный импульс программе логицизма дал Фреге. Опубликовав в послесловии ко второму тому "Основных законов арифметики" антиномию Рассела, он впервые указал на связь такого рода противоречий с характером употребления языка. Постепенно эта связь осознавалась все отчетливее. Если в логических парадоксах, включающих только логические и математические термины, эта
связь несколько завуалирована, то в семантических антиномиях она выступает явственно. Такие парадоксы, по мнению логиков, возникают из-за двусмысленных и неопределенных выражений естественного языка и поэтому требуют особого логического анализа языка. Поставленный в такой форме "диагноз" недуга побудил к скорпулезному логическому анализу оснований математики и активному поиску средств ее логического "врачевания".

Далее разработку логицизма взял на себя Б.Рассел. Изучая открытый им в системе Фреге парадокс, он пришел к построению оригинального варианта аксиоматической теории множеств и к последующей попытке сведения математики к логике. Изучение причин парадоксов и поиск выхода из них Рассел тесно связал с разработанными им идеями логического языка. Отсюда, из логического
анализа оснований математики, ведет свое начало столь характерное для XX в. направление исследований, как анализ языка науки. У истоков исследований языка науки стояли Фреге и Рассел. Именно они поставили те серьезные, животрепещущие вопросы, на решение которых в последующие десятилетия (и по сей день) направленно так много усилий логиков, лингвистов, философов.

Поиску выхода из тупиков для математики Б.Рассел отдал без малого двадцать лет напряженной работы, увенчавшейся созданием - в соавторстве А.Уайтхедом - капитального трехтомного исследования Principia mathematica. Авторы стремились осуществить замысел Фреге о сведении чистой математики к логике, наведя более строгий порядок в самой логике. Выход из логических
парадоксов, казалось бы, был найден в четком разделении логических типов (категорий) и установлении запретов на такие подстановки аргументов, которые ведут к бессмысленности логических функций.

Однако в начале 30-х годов свои известные теоремы сформулировал Курт Гёдель, и под ударом серьезной критики теперь уже оказывается программа логицизма Б.Рассела. Отсюда, правда не следовало, что она всецело ошибочна и бесполезна, однако стало ясно: логицизм не дает радикального выхода из "кризиса в математике", что связывавшиеся с ним надежды на "логический рай"
тщетны.

Другой школой обоснования математики, школой отчасти вышедшей из логицизма стал формализм. Его принципы были разработаны талантливым математиком и логиком Давидом Гильбертом (1862-1943гг.) в 1922-39 годах во "спасение" классической математики от антиномий. Начальный вариант программы формализма был изложен Гильбертом в "Основах теоретической логики" (в
соавторстве с В.Аккерманом, 1928). Необходимо заметить, что под формализмом традиционно понимается предпочтение, отдаваемое форме перед содержанием. Формализм в логике и математике отталкивался от представления, что чистая математика есть "логический синтаксис" - наука о формальных (не наделенных конкретным смыслом) структурах символов. Одной из своих целей школа ставила доказательство того, что манипуляция символами по строгим правилам не дают противоречий, что весьма сближало ее с логицизмом. Вначале концепция формализма была еще во многом наивной. Позднее Гильберт предложил более продуманный и обширный план обоснования математики путем ее полной формализации[14]. Решение задач обоснования логики и математики он связал теперь с метаматематикой (специальной теорией доказательства), позволяющей придать обеим дисциплинам вид исчислений. Для этого метаязык - для доказательства непротиворечивости выбранной системы аксиом теории множеств - должен включать в себя лишь финитные (конечные) средства выражения и дедукции, притом средства абсолютно безупречные по ясности и
убедительности. Иначе говоря, непротиворечивость должна достигаться ценой отказа от каких бы то ни было намеков на понимание актуальной бесконечности, которая как выяснилось, была "повинна" в возникновении антиномий. Гильбертом и его школой (П.Бернайс, В.Аккерман, Г.Генцен и др.) был получен ряд важных результатов в разработке проблем теории доказательства, в нахождении методов проверки полноты, непротиворечивости систем аксиом и др.

Однако формализм столкнулся с теми же серьезными трудностями, что и логицизм. И это неудивительно, поскольку программы эти во многом близки: в обеих возлагались большие надежды на строго аксиоматическое построение
основ математики (идеал логической строгости, уходящий корнями еще в античность) и полную формализацию знания (его выражение в искусственной символике и подчинение всех преобразований знаковых выражений четко выявленным правилам). Но вскоре обнаружился серьезный кризис обеих программ, разразившийся после публикации известной статьи К.Гёделя "О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных ей систем". Его важнейший результат, полученный в 1931 году и изложенный в
названной работе, - доказательство принципиальной неполноты достаточно богатых формальных систем (в том числе арифметики натуральных чисел и аксиоматической теории множеств). Гёдель показал, что в таких системах (при условии их непротиворечивости) имеются истинные предложения, которые в их рамках не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты. Иначе говоря, результаты
Гёделя опровергали центральную предпосылку и логицизма и формализма, допускавшую, что для каждой отрасли математики может быть указана совокупность аксиом, достаточных для выведения всех остальных положений. Гёдель же с бесспорностью доказал, что аксиоматический метод имеет внутренние ограничения. Некоторые склонны считать, что "с философской точки зрения, теорема Гёделя о неполноте предполагала принципиальную невозможность полной формализации какого бы ни было содержательного раздела научного знания"[15]. Хотя это далеко не так. Эта теорема имеет ряд существенных ограничений. Во-первых, она справедлива в предположении о
непротиворечивости исходной аксиоматической системы, а во-вторых, нельзя не заметить, что специфика конструкции доказательства требует необходимости включения в список аксиом исходной системы и группы аксиом натуральных
чисел. Оба этих требования четко ограничивают применимость выводов этой теоремы областью непротиворечивых формальных систем научного знания, в предметную область которых входят числовые величины. Но для существующих научных областей знания ни для одной из них, включая и математику, еще не удалось доказать непротиворечивость, а требование включения в качестве
предмета - числовых величин ясно указывает на то, о каких наука должна идти речь. На вопрос же: Возможна ли какая-либо иная логическая формализация не математических областей знания? теорема Гёделя, ясное дело, ничего сказать не может.

Гёделевская работа была для своего времени чрезвычайным научным событием, мимо которого невозможно пройти. Идеи логицизма, подкрепленные Principia mathematica, владела умами многих логиков, математиков, философов науки в
течение трех десятилетий, и неоспоримые открытия Гёделя не могли не вызвать потрясения. Правда, революционное значение гёделевской работы было понятно не сразу. Но совершенно очевидно, что она была причастна к подрыву слепой веры в аксиоматический метод и формализацию. Из работ Гёделя следовало, по крайней мере, два вывода: 1) что для большей части математики невозможна окончательная аксиоматизация; 2) что для многих важных отраслей математики не существует бесспорного доказательства их внутренней непротиворечивости. Понятно, что результаты Гёделя явились кульминационной точкой формалистических дискуссий. И, хотя эти результаты убеждали в том, что цель формализма иллюзорна, авторы программы сначала не сдавались. В первом томе своей книги (1934) Гильберт и Бернайс обещали преодолеть трудности, порожденные теоремой Гёделя и разъяснить это во втором томе[16]. Однако время шло, и все яснее осознавалась иллюзорность надежд на строго логическое обоснование математики, каким оно мыслилось в программах логицизма и формализма. Но, с другой стороны, работа Гёделя давала надежду, что математические теоремы, недоступные строгой аксиоматизации, могут быть, тем не менее, установлены менее формальным математическим (содержательным) рассуждением. Этот вывод имел серьезный философский смысл и предполагал далеко идущие следствия - отказ от многих иллюзий в понимании природы математики, формирование более реалистической концепции математического знания.

Сторонники философского направления в математике и логике, именуемого интуиционизмом, подошли к задаче обоснования математики менее ортодоксально, чем теоретики логицизма и формализма. Эта программа, основателем которой был голландский математик Лейтцен Эгберт Ян Брауэр (1881-1966гг.), а его последователями - Г.Вейль, А.Гейтинг и др. - ориентировались на исследование умственных математических построений. Они отрицали базисный характер логики по отношению к математике, а последним основанием математики и логики признавали интуитивную убедительность. Постулатом здесь стала мысль о том, что возможность "построения"
бесконечного числового ряда есть "базисная интуиция" человеческого сознания. В основу своего подхода к математике интуиционизм кладет понятие потенциальной бесконечности и связанное с ним понимание существования математических объектов как принципиальной возможности их построения. При этом была решительно отвергнута идея актуальной бесконечности, одна из основных в классической математике и логике. Интуиционизм возник на рубеже XIX-XX вв. как реакция на теорию множеств Г.Кантора, в которой идея
актуальной бесконечности нашла наиболее полное выражение. Сформировавшийся в обстановке кризиса оснований математики, интуиционизм подверг острой критике классическую математику, что усугубило кризис и способствовало широкой постановке проблемы обоснования и логики. В программе интуиционизма акцентировалась не столько идеальная ("божественная"), сколько человечески земная, социальная природа всякого, в том числе и математического познания. С 1904 года Брауэр последовательно проводил критику так называемых чистых математических доказательств существования, опирающихся на логический принцип исключенного третьего. Это в конечном итоге и положило начало математическому интуиционизму как целому направлению в обосновании математики. Но проведенный Брауэром анализ существования оказался ценным и не зависимо от философии интуиционизма,- с точки зрения конструктивного
построения тех объектов, существование которых доказывается. Идеи Брауэра нашли реальное осуществление в логике конструктивного решения математических проблем. Однако ни интуиционизму, ни конструктивизму не удалось завершить намеченную ими программу перестройки математики. С точки зрения крайнего интуиционизма основополагающие теоремы анализа и следствия из них, в которых использовался принцип непротиворечия, примененный к бесконечным множествам, и аксиома выбора, отвергались как неприемлемые. Перестройка анализа и других, хорошо зарекомендовавших себя областей математики на иной конструктивной основе происходила, крайне медленно, в результате которой конструктивный анализ оказался намного "беднее", чем его классический прототип, а методы доказательства невыносимо громоздкими. С этим, конечно же, не могла смириться большая часть творчески работающих математиков. Имея в виду медленный прогресс и ограниченность конструктивистского направления, математики из школы Бурбаки заметили:
"Интуиционистская школа, о которой математики вспоминают как о своего рода историческом курьезе, во всяком случае, оказала услугу математике тем, что заставила своих противников, т.е. подавляющее большинство математиков, яснее осознать причины (одни - логического порядка, другие - психологического) их веры в математику"[17].

Наиболее остро, как уже говорилось, кризис оснований математики проявился в обнаружении противоречий. Это вызвало буквально психологический шок, повергло в отчаяние крупнейших исследователей оснований математики Кантора, Дедекинда, Фреге и др. Состояние растерянности оказалось затяжным. Даже много лет спустя после опубликования Расселом своего знаменитого парадокса,
Г.Вейль с горечью отмечал: "Сейчас мы менее чем когда-либо, уверены в первичных основаниях математики и логики. Мы переживаем свой "кризис" подобно тому, как переживают его все и вся в современном мире. Кризис этот продолжается вот уже пятьдесят лет (эти строки написаны в 1946г.). На первый взгляд кажется, будто нашей повседневной работе он особенно не мешает. Тем не менее, я должен сразу же признаться, что на мою математическую работу этот кризис оказал заметное практическое влияние: он направил мои интересы в области, которые я считал относительно "безопасными", и постоянно подтачивал энтузиазм и решимость, с которой я занимался своими исследованиями. Мой опыт, вероятно, разделили и другие математики, небезразличные к тому, какое место их собственная научная
деятельность занимает в этом мире в общем контексте бытия человека, интересующего, страдающего и созидающего"[18]. Причины такой растерянности на наш взгляд коренятся не в "кризисном состоянии основ математики", а в характере математического мышления (творчества), приведшему к убеждению, что математика в силах своими методами "вычислить" истину так же, как это делает она при открытии законов в естественнонаучных областях знания. Раскрытию этой концепции целиком посвящен следующий параграф нашей работы.


Sergej Breitfuss
 
 
 
 
 
 
материал размещен 15.03.06


[1] Л.С. Фройнман. Творцы высшей математики. М., 1968. С. 83-84.
[2] Ф.А.Медведев. Развитие теории множеств в XIX веке. М., 1965. С. 35-36.
[3] См.: М.Клайн. Математика. Утрата определенности. М.: Мир, 1984. С.199.
[4] Р.Дедекинд. Что такое числа и для чего они служат. Казань: Изд. Императорского университета, 1905. С. 5.
[5] См.: Ф.А.Медведев. Развитие теории множеств в XIX веке. М., 1965. С. 19.
[6] Н. Бурбаки. Очерки по истории математики. М., 1963. С. 14.
[7] Вейль Г. О философии математики. М.-Л., 1934. С. 16.
[8] См.: Х.Карри. Основания математической логики. М., 1969. С. 22-23.
[9] См.: С.Клини. Введение в метаматематику. М., 1957. С. 40-43.
[10] Д.Гильберт. Основания геометрии. М.-Л., 1948. С.349.
[11] См.: Э.Мендельсон. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1984. С. 8.
[12] С.Клини. Введение в метаматематику. М., 1957. С. 42.
[13] Х.Карри. Основания математической логики. М., 1969. С. 26.
[14] См.: Д.Гильберт, П.Бернайс. Основания математики (Логические исследования и формальная арифметика). Т. 1. М.: Наука, 1979.
[15] М.С.Козлова. Проблемы оснований математики //В кн.: Витгенштейн Л. Философские работы. Ч. II, кн 1. М.: Изд. Гнозис, 1994. С. XXI.
[16] Д.Гильберт, П.Бернайс. Основания математики (Логические исследования и формальная арифметика). Т. 1. М.: Наука, 1979. С. 19.
[17] Н. Бурбаки. Очерки по истории математики. М., 1963. С. 53.
[18] М.Клайн. Математика. Утрата определенности. М.: Мир, 1984. С. 387.

(0.9 печатных листов в этом тексте)
  • Размещено: 01.01.2000
  • Автор: Брйтфус С.
  • Размер: 37.43 Kb
  • постоянный адрес:
  • © Брйтфус С.
  • © Открытый текст (Нижегородское отделение Российского общества историков – архивистов)
    Копирование материала – только с разрешения редакции

Смотри также:
Аалто А. На перепутье между гуманизмом и материализмом
Абаев Н.В. Чань-Буддизм и культура психической деятельности в средневековом Китае
Абэ Кобо. Женщина в песках
Августин Аврелий. Исповедь
Марк Аврелий. Наедине с собой. Размышления.
Айгеншарф Якоб. Эхо тундры
Чингиз Торекулович Айтматов. И дольше века длится день (Белое облако Чингизхана; Буранный полустанок)
Айтматов Чингиз. Пегий пес, бегущий краем моря
Айтматов Чингиз. Прощай, Гульсары!
Аксенов В.П. Вольтерьянцы и вольтерьянки
Аксенов Василий. Остров Крым
Акутагава Рюноскэ. Ворота Расемон
Акутагава Рюноскэ. Табак и дьявол
Амаду Жоржи. Дона Флор и два ее мужа
Амаду Жоржи. Лавка чудес
Даниил Андреев. Роза мира. (Книги 1-12). Метафилософия истории
Анекдоты об Александре I и Николае I
Аполлинер Гийом. Стихи 1911-1918 гг. из посмертных сборников
Апулей Луций. Апология, или О магии
Апулей Луций. Метаморфозы, или Золотой осел
Аристотель. Политика
Арсеньев В.К. Дерсу Узала
Асприн Роберт. Еще один великолепный МИФ
А Ты. Два стула и альтернативное настоящее (турболингвистический вопль)
Бабель Исаак. Одесские рассказы
Р.Г.Баранцев. Преодоление бинарной парадигмы
Ролан Барт. Мифологии
Баткин Л.М. Итальянское Возрождение в поисках индивидуальности (Отрывки из книги)
Бах Ричард. Чайка по имени Джонатан Ливингстон
Бах Ричард. Иллюзии, или Приключения вынужденного Мессии
Бахтин М. М. Творчество Франсуа Рабле и народная культура средневековья и ренессанса
Башевис-Зингер Исаак. Люблинский штукарь
Башевис Зингер Исаак. Шоша
Беккет Сэмюэль. Приди и уйди
Беннетт Джон Г. О Субуде
Беннетт Джон Г. Свидетель или история поиска
Беранже. Стихи
Берлин Исайя. Встречи с русскими писателями в 1945 и 1956 годах
Бестер Альфред. Человек без лица
Беттельгейм Бруно. О психологической привлекательности тоталитаризма
Беттельгейм Бруно. Просвещенное сердце
В.М. Бехтерев. Бессмертие человеческой личности как научная проблема
В.М. Бехтерев. Внушение и его роль в общественной жизни
Битов А.Г. Пушкинский дом
Бланшо Морис. Взгляд Орфея
У.Блейк. Стихотворения
Блох Артур. Закон Мерфи
Боас Франц. Ум первобытного человека
Богомолов Владимир. Момент истины (В августе сорок четвертого). Глава третья
Богуславский В.М. Паскаль о достоверности наших знаний. Паскаль Б. Предисловие к трактату о пустоте. Соображения относительно геометрии вообще. О геометрическом уме и искусстве убеждать
Бодрийяр Жан. Система вещей
Бокаччо. Декамерон.
Бомарше Пьер Огюстен Карон де. Безумный день или женитьба Фигаро
Бомарше Пьер Огюстен Карон де. Севильский цирюльник или тщетная предосторожность
В. Бондаренко. "Ты все еще любишь меня?.."
Борхес Х.Л. История вечности
Борхес Хорхе Луис. Книга вымышленных существ
Боулз Пол. Под покровом небес
Брайсон Билл. Путешествия по Европе
Сергей Брйтфус. Истоки и причины кризиса оснований математики.
Бродский Иосиф. Полторы комнаты
Бродский Иосиф. Лица необщим выраженьем. Нобелевская лекция
Быков Василь. Сотников
Булгаков Михаил. Мастер и Маргарита. Часть первая. Глав 1.
Булгаков Михаил Афанасьевич. Тьма египетская
Бурдье П. Начала
Бутусов К., Мичурин В. Лев Гумилев: Космос и Человечество
Борис Васильев. В списках не значился
Вачков И. Мозговой штурм. Деловая игра для педагогов
Вентури Р. Из книги «Сложность и противоречия в архитектуре»
Вергилий Публий Марон. Буколики. Георгики. Энеида
Вердин Йоахим. Жизнь без еды
Вернадский В.И. Несколько слов о ноосфере
Витгенштейн Людвиг. Из "Тетрадей 1914-1916"
Людвиг Витгенштейн. Логико-философский трактат с параллельным философско-семиотическим комментарием Вадима Руднева. 3 Логической Картиной Фактов является Мысль.
Витгенштейн Л. О достоверности
Борис Володин. "Фауст" Гёте: история и жизнь.
Воннегут Курт. Завтрак для чемпионов
Воннегут Курт. Колыбель для кошки
Галинская И.Л. Загадки Сэлинджера
Гамсун Кнут. Голод
Гамсун Кнут. Соки земли
Ганди Мохандус К. Моя вера в ненасилие
Гари Роман. Обещание на рассвете
Гаррисон Гарри. Неукротимая планета
Гаскелл Элизабет. Крэнфорд
Гаспаров Михаил. Занимательная Греция
Гауф Вильгельм. Холодное сердце
Гейзенберг Вернер. Шаги за горизонт
Генон Рене. Заметки об инициации
Герцен Александр. Русские немцы и немецкие русские
Герман Гессе. Степной волк
Гете Иоганн. Фауст
Давид Гильберт. Познание природы и логика
Гиляровский В.А. Москва и москвичи
Гоголь Николай Васильевич. Мертвые души. Том 1
Гоголь Николай Васильевич. Портрет
Голдинг Уильям. Повелитель мух
Головин Евгений. Приближение к Снежной Королеве
ГРАНИН Д.А. ЭТА СТРАННАЯ ЖИЗНЬ

2004-2017 © Открытый текст, перепечатка материалов только с согласия редакции red@opentextnn.ru
Свидетельство о регистрации СМИ – Эл № 77-8581 от 04 февраля 2004 года (Министерство РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций)
Rambler's Top100